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12.已知函数f(x)=x($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$),则方程f(x-1)=f(x2-2x+1)的所有实根构成的集合的元素个数为3.试题答案
分析 由题意可判断函数f(x)是R上的偶函数,且可判断在[0,+∞)上是增函数;从而可得x-1=x2-2x+1或x-1=-(x2-2x+1),从而解得.
解答 解:∵f(x)=x($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$),
∴f(-x)=(-x)($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$)
=x($\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$)=x($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$)=f(x),
∴函数f(x)=x($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$)是R上的偶函数,
∵f′(x)=($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$)+$\frac{x•{2}^{x}•ln2}{({2}^{x}+1)^{2}}$,
∴当x≥0时,f′(x)≥0;
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数;
∵f(x-1)=f(x2-2x+1),
∴x-1=x2-2x+1或x-1=-(x2-2x+1),
故x=1或x=2或x=0,
故答案为:3.
点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用.